«Finalmente l’altroieri ci sono riuscito – non per i miei sforzi, ma per la grazia del Signore. Come un lampo improvviso, l’indovinello è stato risolto. Non sono in grado di spiegare qual è stato il filo conduttore che ha connesso quello che già conoscevo con ciò che ha reso possibile il mio successo.»

Johann Friedrich Carl Gauss

Cos’è il genio? Se ricordate un’irriverente scena del film “Amici miei” di Mario Monicelli probabilmente possedete già la risposta pronta in faretra: «E’ fantasia, intuizione, decisione e velocità d’esecuzione.» Difficile non essere d’accordo. Addirittura: la definizione potrebbe essere persino troppo ampia. Già la fantasia e l’intuizione da sole potrebbero bastare, come ci rivela un episodio della vita di Johann Friedrich Carl Gauss, il famoso astronomo, fisico e matematico tedesco.

È il sonnacchioso anno del Signore 1786. Leopoldo di Toscana abolisce la tortura e la pena di morte; al Burgtheater di Vienna va in scena la prima delle Nozze di Figaro di Mozart e Friedrich Schiller scrive l’Inno alla gioia. Goethe è in procinto di partire per il suo viaggio in Italia. Siamo in piena età dei Lumi, in tutti i sensi. Anche perché – incredibile a dirsi – in Europa non ci sono né guerre né battaglie, né sangue né morti violente. Tranquilli, ci si rifarà con tutti gli interessi di lì a tre anni, quando i parigini faranno sapere a Monsieur le Roi che: “C’en est fini…” passando poi alle vie di fatto e spianando al suolo la torva prigione-fortezza della Bastiglia. Ma non divaghiamo. Spostiamoci piuttosto nel ducato di Brunswick-Lüneburg, e più precisamente nella cittadina di Braunschweig. Toponimi dal suono ostrogoto, tipici del cuore di quell’inestricabile patchwork di stati, principati e libere città che è la Germania di allora. Come tanti altri bimbi, Gauss, figlio di un giardiniere e di una madre pressoché analfabeta, frequenta la Volksschule – diciamo le nostre elementari. Ma ciò più conta è che è già un enfant prodige della matematica. O meglio: un “Wunderknabe”, anche se pochi se ne sono accorti. Eppure, ad ascoltare Wolfgang von Waltershausen, colui che diventerà il suo biografo, il piccolo Carl già a tre anni pare che avesse corretto un errore di calcolo del padre. Probabilmente si tratta di una leggenda, ma se in seguito passi alla storia come il “Principe dei matematici” l’aneddoto tende ad assumere una sua certa credibilità di default. Per quanto notevole, non è però questo l’episodio che ci interessa…

Immaginate una turbolenta classe-pollaio infestata da una moltitudine di alunni. E dall’altra parte dei banchi un maestro probabilmente ai limiti della sopportazione. Come calmare la teppa? Un bel giorno il signor Büttner partorisce un’idea: affidare ai suoi scolari un compito che nelle sue intenzioni dovrebbe portar loro via almeno una buona oretta per essere risolto. Il maestro prende allora il gesso e inizia a scrivere sulla lavagna i primi numeri naturali: 1 + 2 + 3 + 4 + 5… fino a 100. «Meine Herren: fate la somma dei numeri fino a cento!» Immediatamente si inizia a sentire il cric-crac dei gessi che stridono sulle lavagnette che ogni scolaro porta con sé. Solo uno non scrive. Perché è già arrivato alla soluzione. Gli è bastato vedere – pardon: osservare – il maestro. Gauss alza la mano e per la delusione del signor Büttner pronuncia di getto la soluzione: 5050. Com’è possibile? Grazie alle qualità di cui discutevamo all’inizio: fantasia e intuizione.

Gauss si accorge immediatamente che se si associano i numeri equidistanti agli estremi della serie, ci si imbatte in una costante numerica, o meglio in una simmetria della somma: si ottiene infatti sempre 101.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
+ + + + + + + + + +
100 99 98 97 96 95 94 93 92 91
101 101 101 101 101 101 101 101 101 101

Interessante… Ma se il genietto è arrivato fin qui, fare il passo finale è un attimo: sommando per 100 volte 101 si ottiene 10.100 ma, dato che le coppie di numeri sono ovviamente 50, è sufficiente dividere per 2 e ottenere il risultato richiesto dal maestro. In altri termini: 100 ● 101 / 2 = 5050. Per induzione, il giochino funziona con ogni altra serie di numeri, sulla base della seguente generalizzazione: S = n ● (n + 1) / 2 E non finisce qui. Come spesso accade nella matematica, ad un punto di arrivo affluiscono più strade diverse. La formula di Gauss è intuibile anche per via geometrica. Immaginiamo una serie di blocchi impilati a formare una scala, come quella che separa Super Mario dall’ultimo salto verso la bandiera di fine livello. Un qualcosa di simile questo:

Il disegno contiene ovviamente la somma dei numeri da 1 a 6 sottoforma di quadratini. Ora immaginiamo un’altra scaletta uguale alla prima, solo ruotata di 180° in senso orario. Sovrapponiamola alla prima fino a farla combaciare. Cosa otteniamo? Un rettangolo di base n e altezza n+1. L’area o, se vogliamo, il numero totale di quadratini è ovviamente dato dal prodotto n ● (n+1). I numeri che formano la scaletta blu, di conseguenza, si calcoleranno dividendo il tutto per due. Ed eccoci di nuovo alla formula iniziale.

Finito? No, neppure per sogno. Esiste un’ulteriore strada che implica l’utilizzo della media aritmetica. Questo concetto elementare è alla base di molte statistiche, come sanno bene gli appassionati di basket. Cosa significa? Semplice: dato un insieme di valori, la media aritmetica (M) è data dalla somma S dei valori, divisa per il numero dei termini (n): M = S/n Oppure, usando la formula inversa: S = M ● n. Pensiamo ora ad una successione di numeri naturali da 1 fino a n. Se n è dispari, allora la media è data dal valore centrale della successione. Nel caso di 1 + 2 + 3 + 4 + 5 (somma 15) la media è 3. E la somma pari al prodotto. Se n è invece pari, allora la media dei due termini centrali moltiplicata per il numero dei termini darà la loro somma. Esempio: la serie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ha come media 3,5, che moltiplicata per 6 dà 21, ossia la somma. Ooops. Notate niente? La media dei primi n numeri coincide con la metà del successore di n, a prescindere che sia pari o dispari. Espresso altrimenti: M = (n+1)/2 . Se sostituiamo il valore nella formula inversa citata poco sopra avremo: S = n (n+1)/2 . Ancora la formula di Gauss!

Ma credeteci o no, le sorprese potrebbero continuare. La faccio breve, principalmente a causa del limite invalicabile segnato dalla mia ignoranza matematica: alla formula di Gauss possiamo giungere anche attraverso altre vie che comprendono la semi-somma dei due estremi di una successione o le combinazioni con ripetizione mediante il fattoriale crescente. Ciò che conta è prendere coscienza dell’evidenza che i traguardi della matematica sono vette del pensiero scalabili da più sentieri. Forse un po’ come tutte le mete della vita, indipendentemente dall’ambito o dalla loro natura. In questo caso, il valore della somma della progressione aritmetica è stato raggiunto da un bimbo di nemmeno dieci anni, e solo attraverso una delle possibili modalità.

Da un punto di vista intellettuale, il resto della vita di Carl Friedrich Gauss sarà altrettanto spettacolare dei suoi exploits alle elementari di Braunschweig. Il maestro Büttner, impressionato dalle doti del suo alunno, gli regalerà il suo miglior libro di matematica. Il dono potrebbe rappresentare l’investimento più oculato e redditizio nella storia della cultura universale. Da lì in poi sarà infatti una marcia trionfale verso l’empireo dell’intelletto. Gauss darà contributi fondamentali nei campi dell’algebra, della geometria, della statistica, della teoria dei numeri. Dimostrerà di padroneggiare i segreti della meccanica celeste, predicendo con esattezza il passaggio del pianeta nano di Cerere, l’unico del sistema solare interno. Si dedicherà persino agli studi sull’elettricità e sulle variazioni del campo magnetico terreste. Insomma, un genio: con un talento così universale che da adolescente rimarrà indeciso se dedicarsi alla scienza o alle lettere classiche. Non stupisce che la Bundesbank ne abbia onorato la memoria raffigurandolo sul marco tedesco – il DM – fino alla definitiva sostituzione con l’euro. Ma i tedeschi restano in fondo i tedeschi. Il loro senso dello spirito è inversamente proporzionale a molte loro qualità. A Gauss verrà dedicata la banconota da 10 marchi. Su quella da 100 finiranno invece Clara Schumann e Sebastian Münster. Nonostante l’aneddoto della scuola di Braunschweig. Sant’Iddio, perché? Che c’entrano?